Vamos lá.
Como estamos trabalhando com base 10, cremos que o correto seria:
"sabendo que log2 = 0,301, calcule os logaritmos de 20, de 40 e de 80"
Veja: você colocou log2 = 0,031. Esse log não é de 2 na base 10. Estando na base 10, o log que dá igual a 0,031 é o log de 1,074, ou seja: logaritmo de 1,074, na base 10, é igual a 0,031, ou:
log1,074 = 0,031
..10
Isso porque:
10^(0,031) = 1,074
Ou, então é logaritmo de 2, mas em outra base, que não é a base 10.
Seria log2 (na base 5.143.131.874). Aí sim, dará 0,031. Veja:
LOG2 (base 5.143.131.874) = 0,031
Isso porque:
(5.143.131.874)^(0,031) = 2
Assim, vamos considerar que temos: dado log2 (base 10) = 0,301, calcule os logaritmos (base 10) de 20, 40 e 80. Se for assim, temos;
a) log20, que vamos igualar a um certo "x". Assim:
x = log20 -------veja que 20 = 2².5. Assim :
x = log2²*5 ----veja que oga*b = loga+logb. Assim:
x = log2² + log5 ------observe que loga^m = mloga. Assim:
x = 2log2 + log5 ------veja que 5 = 10/2. Assim:
x = 2log2 + log(10/2) ------veja que log(a/b) = loga - lgob. Então:
x = 2log2 + log10 - log2 ------arrumando, ficamos com:
x = 2log2 - log2 + log10x
x = log2 + log10 -------- substituindo log2 = 0,301 e log10 = 1, temos:
x = 0,301 + 1
x = 1,301 <----Esse é o logaritmo de 20 (base 10).
b) log40, que vamos igualar a um certo "x". Agora vamos deixar de explicar cada passagem, porque já o fizemos na questão anterior. Assim:
x = log40 -----veja que 40 = 2³*5. Logo:
x = log2³*5
x = log2³ + log5
x = 3log2 + log5
x = 3log2 + log(10/2)
x = 3log2 + log10 - log2 ----arrumando, temos:
x = 3log2 - log2 + log10
x = 2log2 + 1 -------substituindo log2 por 0,301 e log10 por 1, temos:
x = 2*0,301 + 1
x = 0,602 + 1
x = 1,602 <-----Esse é o logaritmo de 40.
c) log80, que vamos igualar a certo "x". Assim:
x = log80 ----veja que 80 = 2^4.5. Então:
x = log2^(4)*5
x = log2^(4) + log5
x = 4log2 + log(10/2)
x = 4log2 + log10 - log2 ----arrumando, tenos:
x = 4log2 - log2 + log10
x = 3log2 + 1 -----substituindo "x" por 0,301 e log10 por 1, temos:
x = 3*0,301 + 1
x = 0,903 + 1
x = 1,903 <-----Esse é o logaritmo de 80.
É isso aí.
OK?
Adjemir.