(3x²-4x+3)( 3x²-4x+6)=18
=> 9x^4 -12x^3 + 18x^2 -12 x^3 + 16x^2 -24x + 9 x^2 -12x +18 -18 = 0
Agrupando:
=> x^4(9) + x^3(-12 - 12) + x^2(18 +16 + 9) + x(-24 - 12) + (18 - 18) = 0
=> x^4(9) - x^3(24) + x^2(43) - x(36) = 0
Divido ambos membros por "x":
x^3(9) - x^2(24) + x(43) - 36 = 0
Para resolver uma equação de 3º grau se faz assim:
Fórmula geral:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 mas se fizermos x = y + m e calculando m de modo a anular o termo de 2º grau, reduzimos a equação completa em uma do tipo y^3 + py + q = 0
Seja ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 e x = y + m
a (y + m)^3 + b (y + m)^2 + c (y + m) + d = 0
ay^3 + y^2 (b + 3 am) + y ( 3 am^2 + 2bm + c) +( m^3 a + bm^2 + cm + d) = 0
Em nosso caso: a = 9; b =-24; c = 43; d = -36
b + 3m = 0 => m = - b / 3a = 8/9
p = 3.a.m^2 + 2.b.m + c
p = 3 . 9 . (64/81) + 2 . (-24) . (8/9) + (-36) = 96 - (128/3) - 43 = 53 - 42,666 = 10,333
q = a.m^3 + b.m^2 + c.m + d
q = 9 . (8/9)^3 + (-24) . (8/9)^2 + (43) . 8/9 - 36 = 6,321 - 18,963 + 38,222 - 36 =
=> q = -10,4198
portanto se resolvermos a equação y^3 + py + q = 0 acharemos x = y + m . A idéia aqui é supor que a solução é a soma de duas parcelas Y = A + B
Y^3 = ( A + B)^3 => Y^3 = A^3 + B^3 + 3AB ( A + B) como Y = A + B temos Y^3 = A^3 + B^3 + 3AB Y ou
Y^3 - 3AB Y- (A^3+B^3 ) = 0 mas y^3 + py + q = 0 então p= -3AB e q = - (A3+B3 )
assim A^3B^3 = - p^3/27 e A^3+B^3 = - q
assim A^3 e B^3 são números dos quais conhecemos a soma e o produto e este é um problema classico de equação de 2º grau
A^3 = -(q/2) ±√[(q/2)^2 + (p/3)^3]
B^3 = -(q/2) ±√[(q/2)^2 + (p/3)^3]
Como Y = A + B
Raíz cúbica é igual que elevar à potência 1/3
Y = {(-q/2) + √[(q/2)^2 + (p/3)^3]}^(1/3) + {(-q/2) - √[(q/2)^2 + (p/3)^3]}^(1/3)
Sendo:
p = 10,33
q = -10,4198
Agora é só reemplaçar é obter os valores. Isso deixo para você.
Cualquer problema, ver no site que figura como fonte.
*********OUTRA MANEIRA MAIS FÁCIL DE FAZER É: *********
(3x²-4x+3)( 3x²-4x+6)=18
Se A = (3x²-4x+3)
A equação se reduz a:
A . (A + 3) = 18
A^2 + 3A - 18 = 0
A = -3/2 ± (1/2).√[9 - 4.(-18)] = -3/2 ± 9/2
A1 = -6
A2 = 3
Esses valores são colocados na equação A = (3x² -4x + 3), obtendo x. Primerio com A = -6 (para obter os dois primeiros valores de x), logo com A = 3 (para obter os outro dos valores de x), assim teremos os 4 valores pedidos.
Se A = -6
=> 3x² - 4x + 3 = -6
=> 3x² - 4x + 3 + 6 = 0
=> 3x² - 4x + 9 = 0
x = {4 ±√[(16)^2 - 4. 3 . 9]}/(2 . 3)
x = 2/3 ± (1/6)√(256 -108) = 2/3 ±(1/6)√148 = 0,666 ± 2,03
=> x1 = 2,696 (aproximadamente 2,7)
=> X2 = -1,364
Tomando o outro valor de A = 3
=> 3x² - 4x + 3 = 3
=> 3x² - 4x + 3 - 3 = 0
=> 3x² - 4x = 0
=> x.(3x - 4) = 0
Portanto:
X3 = 0
X4 = 4/3 = 1,333
Portanto, os valores de "x" para a equação (3x²-4x+3)( 3x²-4x+6)=18 serão:
X1 = 2,696
X2 = -1,364
X3 = 0
X4 = 1,333
Este método é mais fácil que o anterior. Espero ter sido útil.