Oi querida. Parabéns por estar estudando. A gente só alcança progresso quando nos esforçamos. Vá em frente e boa prova.
Antes de tudo, uma dica: quando você for escrever alguma potência, apenas sinalize com o acento circunflexo antes do valor da potência. Assim, x^4 é a quarta potência de x. Tcharam!! Linguagem matemática!
Da mesma forma, podemos sinalizar a raiz quadrada com a sigla inglesa sqrt (abreviação de square root), que é bem mais curtinha do que no português. Assim, raiz quadrada de dois é sqrt2.
E sqrt(2 . 4^5) é a raiz quadrada de tudo aquilo: 2 vezes quatro elevado à cinco. Veja que a interpretação é outra se esquecermos dos parêntesis...
sqrt2 . 4^5 é raiz quadrada de dois, cujo resultado é então multiplicado por quatro elevado a 5. Pois é...
Então use sempre parêntesis quando precisar diferenciar coisas que podem gerar várias interpretações, como no final da sua equação. Ali o denominador precisa estar todo entre parêntesis, pois senão a divisão será feita apenas pelo x^4 e o restante virá como um fator a ser adicionado à fração... Taí o correto: (x^4 - 6x³ + 9x²)(x+3) / (x^4 - x²)
Você pode resolver esse exercício de duas formas: a primeira é já sustituindo o valor 2011 em cada variável x:
(x^4 - 6x³ + 9x²)(x+3) / (x^4 - x²), para x= 2011,
= [2011^4 - 6(2011)³ + 9(2011)²] (2011+3) / (2011^4 - 2011²)
Uma boa calculadora resolve isso para você rapidinho. Se na prova não puder usar calculadora, então você tem que treinar isso na mão mesmo. Mas creio que concursos não exigem esse tipo de trabalho "braçal" hehe... e sim o mental, o raciocínio, a compreensão. Verifique no edital do concurso (ou um edital anterior se o próximo não foi publicado ainda) e afaste a dúvida.
Bom, de qualquer forma, é só lembrar que potências são multiplicações sucessivas de um mesmo número. Daí, nos colchetes teríamos
(2011 . 2011 . 2011 . 2011) - 6 . (2011 . 2011 . 2011) + 9 . (2011 . 2011), por exemplo. Aproveite que você já teria o resultado da multiplicação da segunda e da terceira potências já resolvidas quando estivesse calculando o comecinho com a quarta potência! Perceber o processo é ter Agilidade, diminuindo o tempo de resolução da prova.
Fazendo toda a equação, a resposta é aproximadamente 2008.
A segunda maneira é você fazer primeiro a simplificação da expressão, e depois a substituição do valor de x. Como é uma divisão polinomial, você pode resolvê-la montando o algoritmo da divisão. Conhece o processo de divisão de polinômios? Aqui tem um pdf bacanésimo para você, que explica tintim por tintim como fazer:
http://www.deetc.isel.ipl.pt/matematica/AMI-MI/08-09/divis%C3%A3o%20de%20polin%C3%B3mios.pdf
Mas antes, resolva a multiplicação do numerador:
(x^4 - 6x³ + 9x²)(x+3) = x^5 - 6x^4 + 9x^3 + 3x^4 - 18x^3 + 27x^2
O resultado da divisão (x^5 - 6x^4 + 9x^3 + 3x^4 - 18x^3 + 27x^2) / (x^4 - x²) ficará assim:
x^5 - 6x^4 + 9x^3 + 3x^4 - 18x^3 + 27x^2 = (x-3) . (x^4 -x^2) + (-8x^3 + 24x^2)
Pois se o dividendo dividido pelo divisor é igual ao quociente mais o resto, então o dividendo é igual ao quociente vezes divisor mais o resto.
Ex.: 9 / 4 = 2 + 1 ===> 9 = (2 . 4) + 1. Ok??
Bom, depois disso resolvido, substitua finalmente o valor de x (2011) em cada x que aparecer no resultado. Fazendo as operações, você deve encontrar a mesma resposta que a do primeiro método: o valor numérico da expressão para x = 2011 é aproximadamente 2008.
Como essa divisão não simplificou muito o exercício, talvez você prefira o primeiro método, pois as operações são simples embora grandes. Mas muitas vezes ocorre de que a simplificação dá um resultado exato, sem resto e com poucos termos, às vezes apenas dois ou três, e aí fica mel na chupeta. Por isso te mostrei duas táticas, para que você se prepare melhor e possa saber escolher a mais adequada para cada caso.
Tudo de bom, querida.
E compartilhe sempre com os outros o que você puder de melhor. Ajudar é uma alegria imensa!
Beijos! :o)